..

Corrijo, confío

Increible !!!

Me reunire con unos amigos q saben mucho mas matematicas que yo a ver como lo toman ellos , pero a mi medio 1... Wao!!!

A la verdad que uno nunca termina de saber nada.

y entonces el dos?

Interesante entonces 0.9 infinito es igual a 1, dato curioso guardado en notas importantes. :)

Hace tiempo habia visto eso...
Creo que esta mal =)

Por ejemplo... ahi donde viene

1/9 = .1111...

De hecho creo que no es una igualdad en si... si no que el .1111... tiende a 1/9 pero nunca lo alcanza..
igual con cualquier otra fracción
por ejm:
.333... tiende a 1/3 ... osea no es igual a 1/3


Tambien con el otro ejemplo tengo problemas...
al multiplicar...
10 por .999... El resultado tendría un digito menos que el .999... original... por lo que el resultado de la resta no sería uno

El resultado sería más bien:
8.999...1

Bueno esa es la forma en la que siempre lo he visto...
Desde que veo que igualan
1 = .9999999999999999999999999...

Mi cerebro se niega a aceptar que sea correcto xD


Disculpen mi cochinero de redacción... espero se entienda lo que quize decir

pues ciertamente, yo ya sabia esto. he visto varias pruebas pero la segunda realmente me impresiono. otra de las pruebas es por medio de series infinitas ya que el numero 0.99999.... es igual a un suma infinita de todas las potencias e 10 menores a cero, multiplicadas por 9. al hacer los calculos correspondientes esta suma resulta ser uno. tambien es posible llegar a este resultado por meedio de las fracciones generatrices y esto no es exclusivo a esta cantidad, pues 1.99999999.... = 2 y asi sucesivamente.

"El truco está en entender que existe más de una forma de representar un número, y que lo que vemos como 0.999999999... no es más que un símbolo que representa en realidad el número 1."

Esa es la parte más difícil. La concepción de infinito, en diferentes contextos, es una de ellas.

puuuff.... Patrañas.

La division de 1/9, contiene decimales infinitos. Por tanto es incorrecto afirmar, que 1/9=0,1111111. Para que sea igual se debería expresar con todos los decimales, siendo esto imposible.

Conceptualmente un fracaso de demostración, y nada sorprendente en mentes retardaditas.

hola

limite cuando x tiende a infinito de

x/(x+1)=1, es decir 0.9999... = 1

puede sorprender pero esto es trivial

Saludos

Es algo obvio, siempre y cuando 0,9999999999999.... sea infinitesimal. Los mismo que decir 1=1,0000000000000000......

mas interesante el segundo, ps el primero me lo sabia hace tiempo, y recien entendi su porque con limites y esas cosas, muy buenos ambos

Esto ya lo sabia desde hace mucho tiempo solo lo pondre un poco mas claro ..ok
miren....
1/9=0.111111....
2/9=0.222222...
3/9=0.3333333...
4/9=0.44444444...
5/9=0.55555555...
6/9=0.66666666...
7/9=0.77777777...
8/9=0.88888888...
9/9=0.999999999... !!!!!!!!!!!!! luego
9/9=1
1=0.999999999...

existen otras curiosidades matematicas... que se pueden probar!
como esta */0=infinito , tal que * no es cero

Si esto se enseña a los 14 años, es pasar un decimal periódico puro a fracción, no le veo el misterio...

Insisto... eso esta mal...
es una ilusión causada por el hecho de que el sistema decimal no puede dividir correctamente 1/9

Estudiare licenciatura en matemáticas con el único propósito de comprobar esto ¬¬

Eso no es una sorpresa.

0.9999 En *realidad* no es 1. Se *redondea* hacia el 1 por ser el valor ascendente más proximo, pero no es 1.

Si me dan 0.999 millones de dolaes, cuanto dinero me estan dando? 1 millon? no, verdad.

Descubriste la polvora.

OMG uno si hacen eso en la calculadora o cualquier sistema digital va a dar 1 por overflow, 2 si estudian los primeros capitulos de algun calculo (sugioero Larson pero si vos queres usa el apostol) te daras cuenta que 0.99999.. no es uno, en representacion matematica se define un intervalo de 1 a 100 por ejemplo como (1 - 100] si el uno es abierto, es decir no es totalmente un uno como tal, tanto que si lo representas [1 - 100] este intervalo si incluye al uno, por lo que tu puedes dividir cualquier numero en un intervalo (0 - INF) pero nunca en el intervalo [0 -inf) ya que la division por cero es indeterminada,notese tambien que inf siempre es abierto. espero les haya servido.

creo que hay un detalle ahi y se trata simplemente de manipulacion de datos cuando multiplican por 10 tomas magicamente un 9 mas de la serie

la resta seria 10x - x = 9.99 - .999

dando 9x = 9.009

Resulta que soy matematico, así que si quereis salir de dudas... ES totalmente cierto.

Y es tan evidente cierto como las dos demostraciones que da, ambas correctas, solo que al escribir 0.99999 se para en un cierto 9, y eso no es correcto escribirlo así, aunque la idea se entiende.

Lo correcto es poner 0.9 con un "gorrito" encima, y se lee "cero punto 9 período", que signifia que se repiten los 9 hasta el infinito.

Un par de anotaciones sobre cosas dichas en otros comnentarios:

Primero, el que un número tenga infinitos decimales es, matemáticamente hablando, lo más habitual, por ejemplo PI o E o la raiz de dos tienen infinitos decimales, y existen (bueno, todo lo que un número puede existir).

Lo de que en el sistema decimal no se puede dividir 1/9, pues no veo el porque, lo que no puedes es representar el resultado como lo intentais, porque no cabe en el papel, pero 1/9 es, exactamente, 1/9, acabo de representarlo usando el sistema decimal (esto ocurre en todos los sistemas de numeración).

Finalmente, para los incrédulos, la explicación "sin trucos": Dos números de definene como iguales, independientemente de como los representemos, cuanod su diferencia es tan pequeña como queramos.

Si intentais calcular la distancia entre 1 y 0.9 "período", vereis que es menor que 0.1, y menor que 0.01, etc... luego ambas son dos formas de representar un único número. Fin de las teorias conspiranoicas!

Y por cierto Eliax, a un matematico, aunque sea recien licenciado, esto no lo deja perplejo, es algo muy básico, y a nivel matematico se usan cosas del estilo de forma rutinaria: Si un matematico no detecta a un mismo numero "disfrazado", pues mala cosa!

Es igual que decir que 1/3 = 0.33333 "período" es algo asombroso, quizas lo sea para algunos, pero ninguno de esos es matematico.

ahora que lo pienso bien, no hay un teorema que dice que 1 + a = 1 donde a es un valor infinitesimal? o esto lo dice la fisica?

sea como sea, 0.999... es un valor infinito y por lo tanto solo es teorico ya que en la practica no existen. Es posible (y extremadamente dificil) encontrarse en la practica con un peso, por ejemplo, que tenga 10,000 nueves (9) despues del punto de tal manera que parezca periodico. Sin embargo, en algun momento, acabara y podria ser interpretado como un numero finito por una maquina. Lamentablemente, para un humano son demasiados digitos y se consideraria aproximadamente infinito).

es cosa de representaciones, pero es imposible dejar establecida la igualdad de un numero o representación exacta con otro que no es exacto.

1 es exacto
0,9999999... no es exacto

1/9 es exacto
0,1111111... no es exacto

Para simpleza de calculos y otras cosas más se llega a estas igualdades, en donde la diferencia es DESPRECIABLE, osea es "casi" lo mismo, pero no son iguales, he ahí el error.

"incluso a los más experimentados en matemáticas deja perplejos", un poco exagerado, no?

mano yo sabia eso desde primer grado...

Este articulo me recordo tambien que;

10/3=3.333333...
3x3.33333=9.99

Osea, al dividir 10 entre 3 y el resultado(3.333...) multiplicarlo por 3, no devuelve 10 exacto sino 9.99999...

Aunque bueno algunas calculadoras puede que devuelvan 10 exacto si se multiplica x 3 en resultado de la memoria de la calculadora(3.333...).

En cambio si escribes la operacion manualmente nunca devuelve 10 exacto sino 9.9999

La verdad es que:
1/9~0.111111...

no es una igualdad, es aproximadamente...

Saludos... no acepto ese resultado. Desde el punto de vista de los números fraccionarios sabemos que el número fraccionario es exacto mientras que el número con decimales siempre será una aproximación, entonces el truco que veo ahí es el igual porque no debería ir ese símbolo sino el símbolo de "aproximadamente". Al igual desde el otro punto de vista, con variables, opino lo mismo, siempre serán aproximaciones puesto que el conjunto de los números reales es infinito. Lo que si no dudo es que en el primer vistazo apantalla :) pero ya analizando, no estoy de acuerdo. Es la primera vez que comento en la página así que... Elías, es una excelente página.

Ésta es una prueba inaceptable.

Tu primer ejemplo, si se hubiera hecho correctamente se podría representar como:

Sea a = 1/9

9(1/9) = 9a
9/9 = 9a
1 = 9a
1 = 9(1/9)
1 = 1

El primer error es suponer que 1/9 = 0.111... Si quieres basarte en esa suposición deberías demostrarla antes.

Tu segundo ejemplo cojea del mismo pie:

Sea a = 1/9

x = a
10x = 10a
10x - x = 10a - x
(10 - 1)x = 10a - a
9x = 9a
x = a
a = a

Vaya, ninguna prueba hizo algo sorprendente.

La única realidad es que 1 es el límite de la serie infinita 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 la cual también se "representa" como 0.999... al igual que PI "representa" un número que no podemos conocer por completo de forma decimal.

es la primera ves que veo que pones algo que no tiene ningun tipo de fundamento eliax.. te sigo desde finales de 2005 y es la primera vez que me decepciona una de tus noticias. disculpame eliax pero estoy estudiando ingenieria informatica y esto es como las religiones para mi no las puedo ver.


matematica es una ciencia exacta y no puede contemplar errores de ningun tipo. no podes ponerte a calcular en una igualdad y decir que 2 numero diferentes son lo mismo porque cometerias errores como este de pensar que 0,999...=1 . es lo mismo que yo te diga que el rojo es verde, no! 0,999... es 0,999... y 1 es 1.

para que sea igual tendrias que hacer aparecer el error osea

1 = 99... + ...1

y esto es una desigualdad

1 =/= 999... en programacion (1!=9) xD

Vamos a hacerlo simple: primero que nada, 0.3333.. no tiende a 1/3, sinó que es exactamente 1/3. No son cifras limitadas de 3. Son infinitas cifras 3. Osea que no se puede tender ya que si parara en algun momento si tendería, pero no para nunca, osea que es una forma exacta de expresión.
Por ejemplo, si dividimos 10 entre 3, nos queda exactamente 3.33333.... infinitamente Y si esto lo multiplicaramos por 3 nos quedaría 9.999999... o simplemten 10, ya que desde esto llegamos al 3.33 diviendo.
La tendencia no existe, solo la exactitud, hacer 1/3 no significa que vamos a agregar tantos .333333333.. en un tiempo determinado y vamos a seguir agregandolos, sinó que los agregamos instantaneamente. Solo existe la tendencia en el tiempo, no en la matematica.

No es por ser un troll como los comentarios que he leído, pero esto lo sabe cualquier persona con conocimientos de matemática.
Eliax, cuando escribes "Como pueden observar, literalmente el número aparentemente infinito 0.9999999... es en realidad el número 1", estas cometiendo un error debido a que el numero 0.9999999... es efectivamente infinito, de otra forma no se cumpliría la igualdad.
Saludos.

El infinto es un concepto resbaladizo, sin herramientas matematicas, intentar usarlo para demostrar o refutar algo es como la nitroglicerina en la química, te salta a la cara en cualquier momento.

Existe toda una teoria de los infinitos, porque son muchos, de hecho hay infinitos infinitos, y no es cierto que infinito es igual a inifinito.

Una cuestion para pensar: Si tenemos infinitos troncos numerados del 1 en adelante, cada uno de su longitud, digamos de entre 1 y 5 metros ¿Existen mas posibles longitudes de troncos en ese rango, o todas están representadas por uno de estos troncos?

Se admiten apuestas...

este tema parece que no va a terminar mas (ja)

PARA LOS MATEMATICOS:
cuanto es 1 menos 0.9999999... = ?
vamos 1 - 0.999999999... =
o.9999999... - 1 =

Puedo dar fe de "incluso a los más experimentados en Matemática deja perplejos". El hecho ampliamente demostrado que 0.999... (INF) es EXACTAMENTE = 1 es algo que siempre lo he tenido en claro yo, pero al mismo tiempo encuentro MUCHA gente con dominio de las matemáticas (al menos mucho mayor que el promedio) que no entienden la razón de esta igualdad: para ellos se trata de 2 números diferentes.

La raíz del problema es que muchas personas NO pueden abstraerse lo necesario para comprender o al menos imaginar de alguna manera el concepto de "infinito". El error es pensar que el "infinito" es un número muy grande pero FINITO. GRAVE ERROR. Esta generalización lleva a interpretar a números del tipo 0.999... (INF) que tienen una secuencia de decimales que NUNCA termina, como si fueran números con una cantidad FINITA y ENORME de decimales. O sea que realizan la aprox de "0.9999... (INF)" = "0.9999999" (cantidad grande pero finita de "9"s) que para muchos casos prácticos resulta suficiente. Por ej, si realizas cálculos donde basta la precisión de algunos decimales, o programas informáticos, probablemente ni te des cuenta de la diferencia. Pero matemáticamente hablando ESA aproximación (de tomar como equivalente a un 0.9999 con un FINITO número de decimales) lleva a un muy pequeño error que la gente tiende a extender como concepto al número "original" (0.99999 INF). Cuando alguien dice que entre 1 y 0.999999... (INF) existe una diferencia que "tiende a cero" (¿?) en realidad en su mente están imaginando a un número 0.99999 con un número FINITO de decimales. Se pierde el concepto del número inicial: que contiene INFINITOS DECIMALES!!!!

Según mi experiencia puedo dar fe que para hacer que alguien incrédulo se de cuenta que 0.999... (INF) = 1, resulta tan difícil como hacerle que cambie su religión. Por más que yo derribo matemáticamente todos sus argumentos que intentan demostrar lo contrario, no logro convencerlo de la igualdad... Así de radicales son...

>>>>>>> -------->>>>>> --------->>>>>
1,2,3,4,5,6,7,................................inf

0.3333333333333333333333333333333333......+
0.3333333333333333333333333333333333......+
0.3333333333333333333333333333333333......
-------------------------------------------
0.9999999999999999999999999999999999......

(el acarreo necesario para convertir todos los 9 en 0 y al 0 en 1 nunca es alcanzado)

otra forma en que se puede entender esto es la siguiente:

si nos paramos en cualquier punto de la calle y caminamos hacia el otro lado de la misma dando pasos cada vez mas pequenos por mas que nos movamos nunca llegaremos al otro extremo (a esto se le llama limite) y nuestro viaje se pareceria al conjunto de cantor (un conjunto fractal infinito)

por lo que 1/3 (de forma racional) es la abstraccion que creamos para eliminar la cadena infinita de 9

Esa es la razón por la cuál siempre utilizo fracciones para hacer las operaciones aritméticas y de cualquier otro tipo, el resultado resulta la fracción y no un numero decimal (por ejemplo en las integrales y derivadas).

!!! E L T R U C O E S T A E N L O S D E C I M A L E S !!!

Hay tantos comentarios que no se si ya halguien dijo esto: al multiplicar un numero por 10 va a tener un decimal menos, si por ejemplo si x=0.9999 con 4 decimales lo multiplico por 10 da
9.999 con 3 decimales si le resto x
0.9999 que se definió con 4 decimales da
8.9991 y no 9

0,99999999... y 1:

No son aproximados, ni tampoco tienden el uno al otro, ni tampoco son parecidos. Son IGUALES, EXACTAMENTE IGUALES, es decir, el mismo número.

Antes alguien ha preguntado cuánto da su resta. Da cero. Un cero perfecto:
1 - 0.99999999... = 0

Me horroriza la cantidad de necios que hay en el internet capaces de rebatir esto sin tener ninguna idea de lo que están hablando. Las matemáticas no son una competición de popularidad: que insistáis mucho no convierte vuestras teorías en reales.

¿Qué es eso de "a mí no me convence"? Las matemáticas son una ciencia EXACTA. Eliax, Sergio y Paolo ya os lo han explicado e incluso demostrado correctamente, si sabéis distinguir la ciencia del marujeo tendríais que aceptar que 0,99999... = 1 y pasar página, que bastante vergüenza ajena estáis dando con vuestra fe e insistencia emocional en un asunto matemático.

El que tenga que utilizar para esto una calculadora o un computador tiene un grave problema. Ningún ordenador ni computadora puede representar el CERO COMA NUEVE PERIODO (0,9999...), ya que tienen un buffer finito y siempre tienen que truncar su representación, con lo que en realidad representan es UN CERO Y MUCHOS NUEVES. Felicidades, habéis demostrado que un cero y muchos nueves es diferente de uno. Pero de eso no estamos hablando. Infinitos nueves detrás de un cero hacen que 0,999... sea IGUAL a 1. Igualdad perfecta.

jajajajajaja, buen chiste este, jajajaja.

Tras ver los comentarios, agrego otro detalle que me parece más bien semántico.
Por lo que entiendo ustedes asumen sin dudar que el signo "=" representa IGUALDAD, cuando en realidad, en muchas ocasiones representa EQUIVALENCIA. Ambos conceptos no son lo mismo.
Visto "=" como equivalencia esta demostración no es en absoluto sorprendente, en el ámbito de la ingeniería y de la vida cotidiana es algo de todos los días. Por ejemplo, si se calculan estructuras con medios matemáticos de poca precisión, tranquilamente se puede establecer que 0,999 = 1 (¡o directamente que 0,9 = 1 !) sin considerar al primer término como secuencia infinita. El truco está en tener claro QUÉ FUNDAMENTA QUE ESA EQUIVALENCIA SEA VALIDA, como ser los coeficientes de seguridad adoptados, resitencia del material empleado y muchos otros factores.
También caemos en la equivalencia cuando estamos acotados en esquemas limitados, por ejemplo normalmente consideramos que $1 = $0,99 dependiendo del cambio disponible, podríamos ser más estrictos de tener más decimales.
Fijos en el ámbito estrictamente matemático y "puro" comprendo que temas como este ameriten discusiones bizantinas. Dejan de serlo cuando a la Matemática se la aplica en contextos menos abstractos.
Saludos

Les cambio .9999 por un dolar...
Son aproximaciones a ciertos limites (el infinito) que el simple algebra no puede explicar, pero vayamos al calculo y la cosa cambia. Simplemente por mas que se quiera el .99999 nunca sera igual al 1, es un wannabe como muchos aqui....
Saludos!

C (1>0.9^)

Si A y C son distintos es porque existe al menos un B tal que A>B>C

Pero si no existe un número B entre ellos es por que A=C (0.9^=1)

Por ejemplo. Entre 0 y 1 hay infinitos números reales. El 0.5, el pi/4, etc.

¿Alguien es capaz de decirme tan solo un número que esté entre 0.9^ y 1?

Como no hay ningún número real entre ellos, significa que son iguales.

El problema y razon de tantos comentarios es porque la nota no esta bien redactada.

Bueno, el problema de entender la equivalencia entre 0.999.... y 1 es muy antiguo. Yo conozco este "conflicto" desde hace años. Y siempre que éste aparece en un blog genera este tipo de discusiones. Algunos se dan cuenta y lo aceptan, otros con argumentos matemáticamente errados se aferran a la idea que son números diferentes. Es más, yo tengo amigos (con cierto conocimiento de las matemáticas) que aún siguen incrédulos a pesar de mis esfuerzos ;)

No quiero ni pensar que ocurriría si algún día José publica en este blog que 0! = 1 o que 0 elevado a la 0 = 1. O quizás lo que ocurra si plantea las paradojas del Hotel de Hilbert o nos hable sobre los "diferentes" tipos de números infinitos que descubrió Cantor... ¡La que se armaría!

Con este supuesto método que utilizan aquí, por qué no mejor comprueban que:

(e^(pi*i))-1=0

yo espero a que saquen la pelicula para entenderlo...

inf) 1 / (10^x)

y luego yo les preguntara ¿y cuánto vale esa expresión?, y en lugar de decirme el valor EN EL INFINITO (cuando x->inf) respondieran tomando un valor de x MUY grande PERO FINITO.

Repito: NO ES LO MISMO un número muy grande (pero FINITO) de decimales que un número INFINITO de decimales!!!! TAMPOCO es lo mismo un número al que se le van adicionando más y más decimales que un número con INFINITOS decimales!!!!

0.9999..... no es un número en "constante crecimiento". Es un número EXACTO. Tampoco es un número que sea una función del tiempo (a más tiempo, más decimales), sino que desde un inicio ya tiene INFINITOS decimales. Y su valor es EXACTAMENTE IGUAL A 1.

Algo no tan conocido pero que se desprende por lógica es que esto se puede extender a otras bases:
0.9999....=1 en decimal (o. lo que es lo mismo, la sumatoria de 9*(1/(10^k)) con [k de 1 a infinito] es igual a 1)

pero, a su vez, en hexadecimal 0.FFFFFF=1, en binario 0,1111111111=1 y así.

La expresión general sería

SUM[(b-1)*(1/(b^k))]=1

Donde b es cualquier natural mayor o igual a dos (esta generalización la estoy haciendo yo y no la probe en otros casos) y K es el término variable de la sumatoria (SUM) que va desde k=1 a k=infinito)

Me niego a aceptar esto, aunque el artículo de wikipedia es claro, y dice que ha sido aceptado por los matemáticos. Aquí hay otro artículo que dice lo contrario!!!!.
http://en.wikipedia.org/wiki/User:ConMan/Proof_that_0.999..._does_not_equal_1.

Que alguién me explique!!!

MATEMÁTICAS
Más controversial que la opinión del Vaticano, pero no tanto como el matrimonio gay.

cualquiera que haya estudiado limites, y el infinito sabe que 1 es infinitesimalmente menor que o.8 periodico (por cierto dificil de poner en ACII) o sea que en la practica es lo mismo, 0.9 periodico tiende a 1.

Y en este caso se debe a la mala conversion de las fracciones al sistema decimal.

Pero te pongo otra mas sencilla para demostara que todas las cantidades son iguales.

a es distinto de b
a elevado a cero es uno, b elevado a cero es uno ergo a igual a b ¿no?

Ahora dame tu 1 millon de dolares que yo te dare uno a cambio ¿vale?,

El cero, el infinito, y por extension los periodicos son convenciones con las que no se deben jugar pretendidamente en serio, pues cuando no representan la realidad dejan de ser matematicas. Siquiera conjeturas.

1/9 no es aproximadamente 0.9 periodico
0.9 perdiodico es aproximadamente 1

punto

x= 0.99999
n=8 -> x= 0.99999999
si n es un numero bastante grade pues tendremos
x=0.999999.....

Bueno ahora por 10 verdad?
10*x= 10 * 0.999999...

nuestro x tenia n cifras decimales si lo multiplicamos por 10 pues tendra n-1 cifras decimales.

Ahora si le restamos a este numero x
10*x-x estamos restanto un numero de n cifras decimales con uno de n-1 cifras decimales
es como si restaras
9.9999-0.999=9.0009

pues bueno en nuestro caso sucede lo mismo solo que con cifras mas grandes pero al final cienpre vamos a obtener 9 enteros un "n-1" cifras ceros y al final un 9
9.0000...0009
obviamente ese numero no es igual a 9
y al dividirlo entre nueve pues jamas dara uno.
a menos claro que dividas con una calculadora que solo admite un numero finito de cifras decimales.
Bueno el caso es que esto es una simple "ilusion" el truco solo esta en q al final al multiplicar por 10 tu "x" pierde una cifra decimal muy pequeña, pero que es la q genera la desigualdad entre los numeros finales.

Los comentarios deja mucho que desear hay gente, que no tiene ni idea de lo que habla y mas aun
cree en lo que se dice aqui, pues realmente el que inicio este articulo es un "estafador" que no tiene ni idea de lo que son las matematicas, yo lo mandaria de regreso al colegio, junto con el que decia que "las matematicas son una simple herramienta".

Caso cerrado, queda demostrado que este articulo no tiene coherencia y que de la misma manera los otros comentarios que se generaron a partir de este van por el mismo camino

Eso lo leí hace un par de meses, me parece que fue en la wiki! =S

No son iguales, pues por el simple hecho de que las igualdades se realizan con respecto a una asíntota, lo que en realidad no lo hace una igualdad.

Eso quiere decir que el cero equivaldría a cualquier numero del universo matemático. Lo que el nueve necesite.

Alguien dijo alguna vez "Dios es matematica" sigan tratando de alcanzar la zanahoria.

JAJJAJAJAJJAJAjAJJAJAAJJA ya es hora de arrojar la BOMBA.
0.777777777777.... = 1
que no?
Estudiense el sistema "octal".
En el sistema octal solo se usan los numeros del 0 al 7.
decir que 0.777777...=1 en octal o decir o.999999..=en el sistema decimal, es lo mismo, lo siento la conclusion es inevitable. en realidad estos casos son una ilución matematica creada por la ineficiencia de nuestros sistemas.

En la prueba de manipulación de dígitos, según mi análisis hay incongruencias, ya se aclaró que 0.111... tiende al infinito, no es lo mismo multiplicar 0.111 * 9, que 0.111... * 9, este último si es igual a 1, basta con coger una calculadora científica y realizar la operación para confirmarlo.

En este sentido, al multiplicar la segunda línea de la operación en cada lado de la igualdad por 10, resultaría en 10x = 10.

Tampoco concuerdo con la tercera línea, todos realizamos en algún momento de nuestros estudios ecuaciones de primer grado, si sumamos, restamos, multiplicamos, dividimos, etc, en un lado de la igualdad, se debe hacer lo mismo del otro lado de la igualdad, de hecho, de ahí viene el título de estas. En esta línea se resta -x en un lado, y al otro lado se resta -0.99.., cuando debería de restarse -x.

Por otro lado sabemos que en la matemática el uso de 1/9 nos brinda la facilidad de no tener que operar un número decimal infinito, en todo caso, de usarse números decimales, se guardan en la memoria de una calculadora, para obtener el valor real y no tener que recurrir a márgenes de error o valores errados en nuestros cálculos.

Créanme que par aun científico de la Nasa no será lo mismo usar un valor aproximado 0.1 a usar un 0.111... infinito obtenido en operaciones por computadoras, las cuales facilitan obtener resultados fiables en poco tiempo.

es muy simple, la respuesta se resume en estas ecuaciones:
1/9=0.111... (tiende a infinito)
0.111... (tiende a infinito) != 0.111...1
mientras se tienda a infinito la ecuacion aplica si se le da un valor este valor es diferente a 1/9

Para mi 1=0.9... quien diga que no es igual que me diga la diferencia entre ambos y encantado cambio mi forma de pensar.

Si a = 1 y b = 1 entonces a = b.

Multiplicando a ambos lados de la igualdad por b, tenemos:

ab = b2

Restando a ambos lados de la igualdad a2 tenemos:

ab - a2 = b2 - a2

Factorizando:

a (b-a) = (a+b) (b-a)

Y simplificando por el término (b-a):

a = a + b

Puesto que a = b, entonces la expresión es equivalente a:

a = a + a

Por lo tanto:

a = 2a

Entonces:

1 = 2

Es cierto esto?

0.9=1a/b
simplificando factore
99=69 y don albert a. se rebuelca de donde esta =?)

Sin ofender a nadie, esto es una falacia del metodo cientifico, dado que esto se erige en utilizar la igualdad que es hipotesys como valida, lo cual no es asi, sino que deberias manipular el 1 hasta hacerlo igual al 0,9 periodico y no llevar el 0,9 periodico hacia el 1, toda igualdad significa que el camino es reversible, es decir que puede leerse de izquierda a derechaa, si bien lo que dices es algo que comunmente los profesores de matematica de las universidades utilizan para explicar el concepto de un infinitesimo, no quiere decir que eso sea valido, recorda que cualquier numero puede expresarse como si mismo mas un infinitesimo

2/0=INFINITO=3/0...
Por lo tanto queda demostrado que 2=3

...he seguido el mismo principio descuidado que en la demostracion de que 0,9999... = 1

Es cierto que 1=0.9999999999999999999.....
Tu explicación es muy clara, pero pensar en infinitos no es algo fácil porque nuestra intuición se basa en nuestra experiencia cotidiana en la que nunca vemos objetos infinitos.
Aunque muchos creen que el número de granos de arena es infinito y todas esas tonterías que se repiten sin pensar.

Los que dudan de la veracidad de esta afirmación, deben leer la demostración de que la cardinalidad de los números reales es mayor que la de los números naturales.

Supongo que también les parecerá increíble que existe la misma cantidad de números naturales que de números enteros (0 con positivos y negativos) y que de números racionales.

Este resultado se ve en la prueba de que el conjunto de los números reales no es numerable, es decir que no se pueden contar 1,2,3,4,5,.... como los números enteros o los racionales.

Busquen algún artículo sobre las demostraciones por diagonalización de Cantor, para entender porqué.

Eliax (José Elías) cometió el error de poner: "El truco está en entender que existe más de una forma de representar un número, ..." en lugar de algo como "Ello se debe a que una cosa es el número y otra la manera de escribirlo, ..."
Lo de "el truco" despierta sospechas.

JaJaJa...
Es un juego muy conocido de la secundaria, hay muchas variantes. El truco, aquí sí cabe el término, es disfrazar que se está llegando a algo de la forma 0*m=0*2m y después simplificar factorizando el 0, lo que equivale a multiplicar por 1/0 en ambos lados de la ecuación, lo que es incorrecto por que el 0 no tiene inverso multiplicativo.

QUe bueno que estás convencido, pero tu argumento es erróneo, las calculadoras no usan números reales, usan números que en el argot de la computación se llaman de punto flotante.
Tienen una precisión muy pequeña.

Existen algunos lenguajes experimentales de programación que permiten una precisión arbitraria, pero no es posible hacer un cálculo con un número infinito de dígitos, porque el cómputo nunca se terminaría, en México muy pronto nos quedaríamos sin dinero para pagar el recibo de la energía eléctria tomando en cuenta las elevadísimas tarifas de la Comisión Federal de Electricidad (la compañía que provee la electricidad de México, supuestamente pública)

Que manera tan sencilla de plantear este resultado sin tener que hacer la construcción que usó Cantor para demostrar que los números Reales no se pueden contar con los números naturales.
Yo conocía la demostración que de que la expansión decimal que infinitamente se va por la expansión infinita de 9s era equivalente al 1 en el intervalo [0,1].
Mi respeto por tu capacidad de explicarlo sin recurrir a toda esa construcción de manera tan convincente.

Los comentarios anteriores son respuesta a otros comentarios, pero no se despliegan con un sangrado junto a éstos, por ello cabe aclarar la relación el comentario x es respuesta al comentario y en la siguiente lista:

El #69 responde al #64 de Fernando
#71 responde al #.....
Ya no encuentro que otros comentarios contesté, hay muchos y no tengo mucho tiempo.

Algo me queda claro, así como por ignorancia hay quien rebate que 1 y 0.999.... representan al mismo número real, el que llamamos Uno, y lo hacen con un fanatismo rabioso, lo mismo pasa en la Wikipedia donde hay artículos que han sido mutilados y han sido bloqueados por ignorantes que se apropian de algunos temas, creyendo tener la verdad. Un ejemplo era la discusión de lo que es una función, en que ni siquiera se ponen de acuerdo en si es lo mismo que una aplicación, yo ya desistí de colaborar con la wikipedia por esas necedades, pero qué se puede hacer con sistemas educativos tan deficientes en la enseñanza de las matemáticas y en general (al menos en México, donde se destruyó el sistema educativo)

Cabe aclarar que cualquier sucesión decimal que se repite infinitamente, representa a un número Racional, los Racionales son un subconjunto de los Reales. Aunque el hecho de que 1 = 0.999... puede aprenderse al ver las pruebas por diagonalización de Cantor, que tienen otro objetivo, probar que algún conjunto no es numerable. Lo que es independiente de la mentada igualdad, pero que se ve claramente en la construcción de los números Reales mediante su expansión decimal.
Y cabe aclarar también que esto es cierto para cualquier expansión decimal que repita infinitamente el 9, por ejemplo 1.9999=2=DOS=Suc(Suc(0)), 0.129999...=013, etc.

nada de eso es correcto, a .9 le falta un decimo para llegar a 1, a .99 le falta un centésimo para llegar a 1, a .999 le falta un milésimo para llegar a uno.... mientras mas 9s coloques después del punto decimal menos hará falta para llegar a 1, pero siempre hará falta.....

Pero según las reglas para redondear, .99999999 puede ser representado por el numero 1, nadie me podrá discutir que 99 centavos son 99 centavos y jamás podrá ser 1 dolar

el Universo se puede ver infinitamente grande como infimamente pequeño; lo mismo sucede con las matemáticas. un número solo es igual a si mismo. debe entenderse la tendencia de acercamiento de un número a otro

dejare esto por aqui...
0.999... = 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + 9/10^4...
Eentonces S(n) = 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3...
S(n) es una serie geometrica con a = 9/10 y r = 1/10
desde que S(n) es convergente (r

0.(9)=1
1.- se puede construir por la serie 9*(1/10)^n, ya que -1INF la serie converge a 1 entonces 0.(9)=1.

2. si 0.(9) y 1 son distintos en LOS REALES deben existir infinitos numeros reales entre ellos y como no son capaces de decir alguno,dicen 0.(0)1, ese numero no existe en R.Pero si existe un numero infinitamente cercano a uno pero no es uno, tal numero existe en el sistema hiperreal,se llaman infinitesimales

Si divido 1/3 divido la unidad en 3 trozos y cojo 3
1/1 divido en 1 trozo cojo 1 trozo
1/3 al hacer la division es a 0 entonces divido 10 entre 3 ( la unidad en 10 partes) cojo 3 decimas partes y me sobra 1 decima parte que vuelvo a fraccionar en 10 partes cojo 3 partes y vuelve a sobrar 1 y así sucesivamente 0,33333..
1/1 hago la división en vez de poner a 1 pongo a 0
divido la unidad en diez partes cojo 9 decimas partes y me sobra una decima parte que vuelvo a dividir en diez partes y asi sucesivamente 0,9999...
1/1 sería la fracción generatriz de 0.99999
o lo que es lo mismo del 1 en la gráfica de la recta igual que 1/3
¿es posible hacer 3 trozos iguales de algo?
¿y diez trozos iguales?

Si dibujo una recta y marco el cero despues el 1
la medida del 2 tiene que ser esactamente igual a la del 1 y nunca sería esactamente igual siempre dependerá de la precisión con que midamos
el 2 seria 1.999999999...1+0.999999.........
el 2 tendría que ser la unidad (un trozo mas otro trozo igual con una precisión infinita).

es totalmente falso ya que esta comprobado por completitud numérica, no puedes asignar un decimal infinito periodico una multiplicacion ya que de este nace otro valor de igual complejidad,
es como decir que 0.333+0.333+0.333=1 ya que existe la propiedad de que estos solo se complementan en una fraccion siendo distinto 3/3 de (0.333)*3

Que 0.9999... periódico es IGUAL a 1 me lo enseñaron en la escuela a los 13 años. La explicación fue sencilla:

Para la explicación usaré la notación siguiente:

0.9^ = 0.999999...999...

Es decir, 0.9^ es un cero seguido de INFINITOS nueves después del punto decimal. Se lee "cero punto nueve periódico".

Con esta notación se puede escribir cualquier número periódico puro

1.3^ = 1.33333...3333...
12.8^ = 12.88888...8888...
36.75^ = 36.757575...7575...
1.15^ = 1.151515...1515...
0.365^ = 0.365365365...365365...

¿Se entiende?

¿Cómo se convierte un número decimal periódico puro a una fracción? Tomemos como ejemplo el 1.6^

1) Se toma el numero como se lo ve, y se quita el punto decimal. En este caso quedaría 16.

2) Al número resultante se le resta el valor de lo que hay delante del punto decimal. O sea, 16 - 1 = 15.

3) El resultado de esta resta es el numerador de la fracción.

4) El denominador está compuesto por tantos NUEVES como cifras hayan sido las que se repetían infinitamente, en este caso se repetía sólo el 6, o sea, una única cifra repetible. Por lo tanto el denominador será sólo un 9.

La fracción resultante es 15/9. Hagan la división 15 DIVIDO 9 y verán que el resultado es 1.6^

Otro ejemplo: 7.4^
1) 74
2) 74 - 7 = 67
Entonces 7.4^ = 67/9

Un ejemplo final: 0,45^
1) 045
2) 045 - 0 = 45
3) El denominador es 99, porque esta vez son 2 las cifras que se repiten infinitamente.
Entonces 12,45^ = 45/99

CON ESTE MÉTODO SE PUEDE CONVERTIR CUALQUIER NUMERO PERIÓDICO PURO EN FRACCIÓN.

Convirtamos entonces nuestro controvertido 0.9^ :

1) 0.9^ considerado sin el punto es 9.
2) El valor delante del punto decimal es 0, por lo tanto la resta será 9 - 0 = 9.
3) El numerador entonces es 9.
4) Como se repite infinitamente una sola cifra, en el denominador hay que poner sólo un único 9.
5) La fracción resultante es 9/9

Por lo tanto 0.9^ = 9/9
Y 9/9 = 1

Vaya!! El profesor nos mandó justamente a resolver este entresijo. Y tú lo has explicado perfectamente. Me ha costado encontrar la explicación jeje. Pero por fin la encontré.
Muchas gracias por la respuesta, seré el cerebrito de clase a partir de ahora jajaja!!!